Верно: ежиный нос и нос ежа.
Правильно: лизнуть нос.
В словаре Лопатина В. В., Нечаевой И. В. и Чельцовой Л. К. «Прописная или строчная? Орфографический словарь» (М., 2011) рекомендуется в этом имени сказочного персонажа писать все слова с прописной буквы.
Корректно: закапать (лекарство) в нос, в глаза...
См. в «Справочнике по фразеологии».
Вероятно, эти слова объединяет признак непроизводности.
С гулькин нос (шутл.) – очень мало. Буквально – «с голубиный нос (клюв)». Гулькин – притяжательное прилагательное от слов гулька, гуля «голубь», возникших на основе звкукоподражания.
Все варианты возможны.