Если в тексте нет противопоставления, предпочтительно слитное написание неведущая рука.
Правильно: Приемная комиссия ... государственного университета и в выходные дни трудилась не покладая рук.
Нет, не изменилась.
Слово видео-конференц-связь пишется с двумя дефисами.
Запятая не нужна.
Указанная запятая нужна, слово набивается не следует заключать в кавычки: во-первых, так набивается рука, и польза от этого громаднейшая.
Хороший вопрос. Дело в том, что сама по себе эта фраза противоречит нормам литературного языка, поэтому о правильности написания судить также затруднительно. Согласно нормам, мы должны использовать здесь краткое прилагательное виновата, которое в сочетании с отрицательной частицей и в роли сказуемого пишется раздельно. С этой точки зрения в приведенной Вами цитате более уместно раздельное написание.
Деепричастный оборот, представляющий собой фразеологизм, не выделяется запятыми: работает не покладая рук, сидит затаив дыхание, бежит сломя голову и т. д.
В ваших примерах лучше выбрать форму множественного числа.