Сочетание не покладая рук фразеологическое и не требует обособления. Впрочем, возможно и установление отношений уточнения между обстоятельствами хорошо и не покладая рук (=без устали, непрерывно) — в таком случае запятая нужна.

Пожалуй, возможно мнемоническое правило о стилистической окраске глаголов, включающих компоненты класть и ложить: ложат только с приставками, а кладут без приставок. С помощью орфографического академического ресурса «Академос» несложно удостовериться в том, что правило работает. Так, по запросу *ложить выдаются только приставочные глаголы, и все они не имеют сниженной стилистической окраски (вложить(ся), возложить, выложить(ся) и т. д.); по запросу *класть выдаются глаголы без стилистической пометы класть, накласть, прозакласть и глаголы с пометой сниж. закласть и покласть. При этом очевидно, что глагол накласть находится на стилистической шкале ниже отметки «нейтральное», но не так низко, как закласть и покласть, и это отмечается толковыми словарями, в которых стилистическая характеристика дается более дифференцированно, чем в орфографических источниках (см., например, накласть). Глагол же прозакласть практически не употребляется. Таким образом, из глаголов с компонентом класть стилистически безупречен лишь бесприставочный класть. Но предложенное мнемоническое правило ограничено названными в нем глаголами, оно не охватывает слова с корнем -клад-: многие из них, такие как уклад, приклад, расклад, склад, складировать и др., стилистически нейтральны.

О мнемонических правилах можно прочитать здесь. 

Мы не выполняем домашние задания, но можем подсказать, что для определения синтаксической роли фразеологизма нужно помнить: фразеологизм — это один член предложения, к нему нужно задать вопрос от слова, к которому он относится, например: бежала (как?) сломя голову, фразеологизм является обстоятельством. 

Написание проверяется в словарном порядке.

Правильно: Приемная комиссия ... государственного университета и в выходные дни трудилась не покладая рук.

Деепричастный оборот, представляющий собой фразеологизм, не выделяется запятыми: работает не покладая рук, сидит затаив дыхание, бежит сломя голову и т. д.

Устойчивый оборот: не покладая (чего?) рук. Рук - форма мн. ч. род. п.