Нужно склонять только мужскую фамилию Нечай: р. п. - Нечая, д. п. - Нечаю и т. д.
Правильно: я ничей.
В этих словах есть общий корень.
Да, эта мужская фамилия склоняется.
Возможно: лечу самолетом и на самолете (как указание на вид транспорта), лечу в самолете (=внутри).
У слова нечто нет форм косвенных падежей, поэтому следует так строить фразы с этим оборотом, чтобы можно было использовать именительный или винительный падеж (например: узнал нечто такое, случилось нечто такое).
Лучше: ситуация, в которой...
Верно: обретение кем-либо чего-либо.
См. в электронных словарях (окно «Искать на Грамоте»).