Верно: ежиный нос и нос ежа.
В словаре Лопатина В. В., Нечаевой И. В. и Чельцовой Л. К. «Прописная или строчная? Орфографический словарь» (М., 2011) рекомендуется в этом имени сказочного персонажа писать все слова с прописной буквы.
Правильно: лизнуть нос.
Корректно: закапать (лекарство) в нос, в глаза...
См. в «Справочнике по фразеологии».
Верно: нео-поп-арт (дефис после нео-... ставится из-за того, что поп-арт пишется через дефис).
Вероятно, эти слова объединяет признак непроизводности.