Эти мужские фамилии склоняются.
Это канцелярское выражение, однако оно корректно.
Верно: требующих ремонта.
Корень тем-.
Грамматически возможны оба варианта (зависит от того, с каким из слов существительное проверка образует сочетание: проведение проверки или допускается к проверке).
С точки зрения стилистики лучше избегать нанизывания родительных падежей: Допускается к ремонту и проверке взрывозащищенного электрооборудования.
Запятые не нужны.