Верно раздельное написание: сойти с ума.
В официальных документах принято такое написание: Государственная Дума, Московская областная Дума.
См. вопрос 280478.
Орфографически верно: городская дума. Однако в официальных текстах нередко можно встретить такое написание: Московская городская Дума. Оно принято в официальных документах, хотя противоречит орфографическим нормам.
Да, запятая обязательна, это сложносочиненное предложение.
Запятая ставится только после "что".
Выражение сойти с ума в значении "потерять рассудок" стилистически нейтрально.