С термином река склоняются простые русские, славянские и освоенные названия: на реке Неве, на реке Висле (но: на реке Иртыш – географические названия обычно не склоняются, когда род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают).
Дополнительные знаки препинания в приведенной Вами фразе не нужны. Правильно: я поеду на Дальний Восток либо на Север.
См. ответ на вопрос № 224867.
Корректно написание со строчных букв, для написания с прописных нет оснований.