Это верная форма, что можно проверить по словарям на нашем портале, в частности по «Словарю трудностей русского языка».

Оба варианта корректны, однако согласимся, что вариант "на день рождения" позволяет избежать двусмысленности. 

В таком контексте сравнительный оборот с союзом как относится к деепричастию вылетая, а потому запятая нужна. Сравним без запятой: *глаз как самолет.

Запятая между нераспространенным согласованным и распространенным согласованным определениями нужна.

С прописной буквы рекомендуется писать прилагательные, образованные от слов Бог, Господь, напр.: благодать Божия, Господняя (Господня) воля, храм Божий, Божественная Троица, Божественная литургия (но в переносном значении — строчная буква, напр.: божественный 'восхитительный'; то же в таких устойчивых сочетаниях, как божий одуванчик, божья коровка).

Выберите нужное написание в зависимости от смысла сочетания. Ср., например: свет Божий (в религиозном значении) и свет божий (устойчивое сочетание в значении 'белый свет': Песочницу засыпало снегом, а потом еще снегоуборочная машина накатила сугроб на то место, где она стояла, так что до весны выковырять ее на свет божий не представлялось возможным. А. Сальников. Петровы в гриппе и вокруг него).

Обратите внимание, что в правиле используется слово рекомендуется. Орфографической ошибкой выбор прописной буквы вместо строчной (и наоборот) не будет.

Корректно: тариф на свет, на электроэнергию.

Думаем, что это связано с литературной судьбой Мамая ("Задонщина" и "Сказание о Мамаевом побоище"), так что причины, вероятно, литературные. Иначе говоря, в этимологии фразеологизма не мирные, а военные потери сторон.