Корректно: Уйти на охоту, перекинув ружье через плечо.
Оба сочетания верны, но это разные способы носить сумку.
Имена прилагательные, образованные от личных имен, фамилий, кличек при помощи суффиксов -ов (-ев) или -ин и обозначающие индивидуальную принадлежность, пишутся с прописной (большой) буквы: Сашкино плечо, Танино колено.
Корректно.