Верно: ...века (в единственном числе).
Во веки веков – вечно, всегда.
Правильно: в конце XIX – начале XX века.
Правильно: конец XVIII — начало XIX века.
Извините, но контекст всё равно недостаточен. Выскажем предположение: [Нечто происходит] из века в век. Но всё ж — доколе [оно будет происходить].