Предпочтительно: напоИм и допустимо в разговорной речи напОим.

Оба варианта верны. Реализовать – двувидовой глагол, он может употребляться и как глагол совершенного вида (что сделать?), и как глагол несовершенного вида (что делать?).

Правильно: По нашим оценкам, это займет более двух месяцев.

Такое сочетание не ошибочно: у слова новоселье есть оттенок значения 'празднование по случаю поселения на новом месте', начни новоселье = начни празднование. Но всё-таки лучше: начни праздновать новоселье.

Слитное написание правильно. Пишутся слитно местоименные слова с приставкой ни-: никто, ничто, никакой, ничей и т. д. В сочетании с предлогами формы таких местоименных слов пишутся раздельно, например: ни с чьими интересами мы не считаемся.

Почему — местоименное наречие, функция дополнения для него не характерна, поэтому кавычки нужны.

Например: Мы предлагаем нашим оппонентам диалог.