Правильный вариант: застёгивать.
Примерно так: натЯГЫ(О)вать.
Запятая ставится.
Да, верно.
Фамилия Мойся склоняется. А зачем настаивать на ее несклонении? Вы хотите, чтобы официальные документы были с грамматическими ошибками?
Правильно: Настаивать на пункте, не относящемся к делу. Окончание предложного падежа – ем; окончание творительного падежа – им.
Тире действительно нужно исправить на дефис.