Нет, такая формулировка неверна. Правильно: Напишу вам о новостях.
Я сейчас пишу – я уже пишу (процесс письма уже начался). Я сейчас напишу – я сейчас начну писать (процесс письма еще не начался).
Правильно: Мне не понравилось, и я напишу почему.
Время, указанное в первом предложении (Напишу текст за 30 минут), не относится ко второму предложению (Нарисую иллюстрации, если это необходимо).
Запятая поставлена правильно.
Пунктуация верна.
Правильно: по выздоровлении (=после выздоровления).
Запятая не ставится.