Эти слова могут употребляться как синонимы. Разница такова: намокнуть - стать мокрым; промокнуть - стать мокрым насквозь, изнутри; вымокнуть - стать мокрым целиком.
Здесь верно: Как бы НИ НЕ хотелось...
Верно: навязнуть в зубах.
Варианты различаются стилистически: закрыть дверь – нейтральный, замкнуть дверь – разговорно-просторечный.