Верен первый вариант, поскольку поставщик выписывает накладную (в одном или нескольких экземплярах).
Запятая не нужна.
Предложение построено неудачно. Предлагаем такие варианты: В той копии товарной накладной на отгрузку, которая останется у клиента, необходимо указывать фамилию экспедитора; В предназначенной клиенту копии товарной накладной на отгрузку необходимо указывать фамилию экспедитора.
Следует перестроить предложение, поскольку деепричастный оборот употреблен неправильно. См. ответ № 200757.