Возможен как склоняемый, так и несклоняемый вариант. См. подробно в «Письмовнике».
Верны оба варианта. Подробно о склонении географических названий см. в «Письмовнике».
Вопрос надо ставить по-другому: с какого времени стало допустимым не склонять эти названия? Эти процессы начались во второй половине XX века, до этого все подобные названия регулярно склонялись. См. подробнее в рубрике «1toponimy/">Азбучные истины».
О склонении географических названий см. в Письмовнике.
Это название склоняется, если оно употреблено без родового слова (поселок, деревня и т. п.).
Правильно: в Елизове.
Возможен вариант с двумя тире: Главный герой – Евгений Базаров – учится на доктора.
Правильно: в городе Елизово. Если слова город нет, возможны два варианта: в Елизове (предпочтительно) и в Елизово (допустимо).