Корректно: прошу разрешить командирование сотрудников.
Возможны оба варианта, второй воспринимается легче.
У этих предложений разный смысл. В первом есть противопоставление (цель не в том, чтобы нарушить, а в том, чтобы исполнить), во втором нет противопоставления (цель в том, чтобы не нарушить и при этом исполнить).
Запятая перед как нужна.
Поясните вопрос, пожалуйста.
Словосочетание корректно.
Сочетание стилистически небезупречно, верно: за пропаганду здорового образа жизни.