Уменьшительно-ласкательная форма имени: Танечка. Поэтому верно: Танечкин мяч.
Возможно: Пора купить мяч – и вперед, на спортивную площадку.
В значении "мяч находится где-либо" - мяч лежит: Где лежит мяч? Мяч лежит на месте.
Да, требуется обособление.
Здесь возможны два варианта пунктуационного оформления, так как в зависимости от смысла одни и те же слова могут рассматриваться или не рассматриваться как уточняющее обстоятельство: Справа, внизу, (то есть в каком именно месте правой части пространства) лежал мяч — Справа внизу (то есть в правой части низа) лежал мяч.
Указанная запятая нужна.