Корректно ориентироваться на написание в «Большой российской энциклопедии»: Джума-мечеть. В данном сочетании первый элемент воспринимается как собственное название конкретной мечети.
Прилагательное мечетный, образованное от существительного мечеть, фиксируется некоторыми словарями. Поэтому сочетания мечетный двор, мечетная роспись возможны, однако в речевой практике прилагательное мечетный употребляется редко, чаще используются конструкции двор мечети, роспись мечети.
Звуки, обозначемые буквой Г, в этих словах различаются по твердости и мягкости.
Словосочетание избыточно. Мечеть - это и есть мусульманский храм.
Запятая не нужна. Слова по замыслу вводными не являются.
2. Правильно: мяучит и мяукает.
В неосвоенных заимствованиях перед Е произносится твердый согласный: [амЭкс].