Корректны оба варианта.
Оба варианта правильные.
Речь идет о разновидностях склонения – твердой и мягкой. Твердый вариант – слова с основой, заканчивающейся твердым согласным (например: девочк-а, стол, окн-о – согласные [к], [л], [н] твердые), мягкий вариант – слова с основой, заканчивающейся мягким согласным (земл-я, конь, мор-е – согласные [л'], [н'], [р'] мягкие). И в рамках первого склонения, и в рамках второго склонения есть твердый и мягкий вариант, ср.: девочка, земля – 1 склонение, стол, конь, окно, море – 2 склонение. Они имеют некоторые различия в окончаниях (Вы их указали), но всё равно объединяются в рамках одного типа склонения.
Отчество от имени Эмиль – Эмильевич. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. М., 2012 (приложение в конце словаря).
Кавычки уместны в тексте для неподготовленного читателя, не знакомого с этим термином. Если текст адресован читателю, которому должно быть известно сочетание мягкие навыки, кавычки можно опустить.
Обе фразы грамматически верны.
