Скорее, традиция. Но есть и другие объективные причины. Например, повтор слова "король" в титуле и в прозвище, возможность поставить прозвище-титул вначале: "король-солнце" Людовик.
Термин синонимия к именам не применяется, так как синонимия – это близость значений, а имена значениями не обладают. Как варианты имени в доступных нам словарях имена Людвиг и Людвик не отмечаются. Вариантами признаются Людвиг и Людовик.
Правильно со строчной и в кавычках: «король-солнце».