Во мн. ч. - Кубки мира (как Олимпиады).
Мира и Мирра – разные имена: Мира – славянское (корень тот же, что в словах мир, мирный), Мирра – греческого происхождения (от греч. myrrinē — мирт).
Верно: примет участие в чемпионате мира.
Эти сочетания пишутся строчными буквами.
Правильно: чемпионат мира, Кубок мира.
Выбор предлога зависит от контекста.