Да, это сокращение склоняется: в Минобре решили.
Ваша фамилия склоняется. По нормам русской грамматики склоняются все мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный звук (кроме фамилий на -ых типа Черных, Седых). А вот женская фамилия Кимбар не склоняется.
Кавычки будут уместны, чтобы не путать это название с министерством в прямом смысле слова: "Мингаз".