Правильно: получила медаль конкурса упаковки (конкурса на лучшую упаковку).
Запятая нужна, она закрывает придаточное предложение.
Нет, кавычки не требуются.
Части Вашего сложного предложения должны соединяться союзом чтобы.
Первое слово названия пишется с прописной буквы: Золотая медаль имени В. В. Докучаева. См.: Розенталь Д. Э. Справочник по русскому языку. Прописная или строчная? – 7-е изд., перераб. и доп. М., 2005.
Следует писать строчными: медаль ордена.