Форма мн. ч. в указанном значении используется.
Возможны оба варианта, выбор часто зависит от контекста. Второй вариант, как правило, используется с притяжательным местоимением: не в (чьей-то) компетенции.
Напишите, пожалуйста, предложение целиком. Постараемся помочь с редактурой.
Возможны оба варианта.
Сочетание некорректно.
Наиболее удачная форма — в кавычках со строчной буквы.
Кажется, слово "вопросы" здесь лишнее. Просто: в своей компетенции или в рамках своей компетенции.