Верно: улица Международная.
Вы правы, организация проведения дня - неудачный вариант. Корректнее: Об организации и проведении мероприятий, посвященных Дню охраны труда.
Вы написали правильно.
Неудачное сочетание. Организация труда может быть плохой, нерациональной, неэффективной.
Смысл предложения непонятен.
Оба варианта нельзя признать корректными, но второй ближе к правильному. Возможный вариант: Цель правил — способствовать эффективной организации труда.
Кавычки нужны, название организационно-правовой формы пишется с маленькой буквы. Вы написали верно: автономная некоммерческая организация "Международная академия", АНО "МА".