Возможно: неясной этиологии.

Это слово не склоняется.

Словарной фиксации нет. Употребление твердого знака в данном случае вряд ли возможно (Ъ регулярно употребляется лишь после приставок). Поэтому, если выбирать между Ъ и Ь, то следует писать интродьюсер (или, по аналогии с продюсером - интродюсер).

Орфографически верно: ученицы МОУ «Медянская СОШ».

В медицинском значении (исследовать, изучать) - наблюдать кого, наблюдение кого.

Корректно: А потом, не сговариваясь, оба поехали поступать в медицинский институт в Нижний Новгород.

По правилам 1956 года (де-юре): Всесоюзный Ленинский Коммунистический Союз Молодежи. Но современная орфографическая норма (написание де-факто): Всесоюзный ленинский коммунистический союз молодежи.

Правильно так: Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Тольяттинский медицинский колледж» (ГОУ СПО «Тольяттинский медколледж»). Название в кавычках не склоняется: Государственного образовательного учреждения среднего профессионального образования «Тольяттинский медицинский колледж», Государственному образовательному учреждению среднего профессионального образования «Тольяттинский медицинский колледж» и т. д.