Возможны различные варианты написания производных (уменьшительных) имен, их написание (и образование) практически не регулируется правилами.
Корректны оба сочетания.
Слово "машинка" будет уместно заключить в кавычки.
Правильно: Манечка.
Запятая не нужна.