Верно: пойти в бассейн. В разговорной речи в значении "начать заниматься в бассейне" - пойти на бассейн.
Возможны варианты: с мягким [c'] и твердым [с]. Первый вариант предпочтительнее.
Верно: против бывшего госсекретаря Хиллари Клинтон.
Правильно: в бассейн.
Верен второй вариант.
В «Справочнике по русскому языку: правописание, произношение, литературное редактирование» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой содержится рекомендация ставить иноязычную фамилию в форму единственного числа, если она сопровождается словами супруги, семья. Рекомендаций об употреблении фамилии при слове чета в справочнике нет, но логично предположить, что и в этом случае предпочтительно единственное число.
Лучше всего так прямо и полно написать: ребенок ходит на занятия (тренировки) в бассейн.
