Правильно: Манечка.
Оба варианта допустимы, в разных контекстах.
Возможны различные варианты написания производных (уменьшительных) имен, их написание (и образование) практически не регулируется правилами.
Правильно: заверка документов. А заверение – это обнадеживающее заявление, уверение в чем-либо.
Из предложенных вариантов верен только первый.