Поскольку прилагательное в данном случае обозначает просто географическую принадлежность, но не начинает собой имя собственное, оно пишется с маленькой буквы: в новокорсунской Свято-Стефановской церкви, в краснодарском Свято-Ильинском храме.
Разберем написание и склонение на примере реальных названий звезд.
Главную трудность представляет собой написание слов альфа, бета, омега и др. — с прописной или строчной буквы? Авторы «Русского правописания с комментариями» Е. В. Арутюнова, Е. В. Бешенкова, О. Е. Иванова отмечают:
«В правилах и орфографических словарях была закреплена норма, сложившаяся в узусе к середине ХХ в., — писать порядковые обозначения светил, выраженные словом (альфа, бета, гамма и т. п.), со строчной буквы, напр.: альфа Малой Медведицы, бета Весов (см., например, [Правила 1956; Розенталь 1984; Правила 2006, РОС; Академос]). Однако данная норма оказалась неустойчивой, что отчасти было обусловлено малой известностью букв греческого алфавита дальше дельты. Постепенно в названиях звезд, а также в соотносимых с ними названиях метеорных потоков, первое слово стали писать по правилу с прописной буквы в текстах всех стилей: звезды Альфа Центавра, Дзета Кормы, Тау Кита, Омега Дракона, Ню Козерога; метеорные потоки Альфа-Центавриды, Дельта-Леониды, Гамма-Нормиды».
Что касается склонения, то в сочетаниях типа Альфа Центавра, Омега Дракона представлена такая синтаксическая связь: [звезда] Альфа (чего?) [созвездия] Центавра. При изменении главного слова зависимое слово не меняется: прибыл к Альфе Центавра, к Омеге Дракона; свет дошел от Альфы Центавра, от Омеги Дракона.
Слово родина не употребляется в формах множественного числа. В сочетании малая родина это слово, как правило, пишется со строчной буквы. Написание слова родина с прописной буквы используется при необходимости придать тексту высокое, торжественное стилистическое звучание. Вне этих стилистических задач следует предпочесть написание со строчной буквы. С учетом сказанного можно рекомендовать написание: большая и малая родина.
Слово мцыри выступает здесь как имя литературного персонажа, и его надо написать с прописной буквы: Мцыри. В стихотворных цитатах, включенных в состав прозаического текста в качестве его компонентов, строки отделяются одинарной или двойной косой чертой, прописные буквы в начале строк сохраняются.
Если слово набережная является родовым термином, оно пишется со строчной: Волжская набережная. Такое употребление представляется наиболее естественным для нейтральной устной и письменной речи.
Но если (в канцелярской речи) сочетанию предшествует номенклатурный термин улица (такое употребление характерно для систематизированных перечней географических объектов и текстов, использующих их данные), тогда набережная становится частью названия и пишется с прописной буквы: улица Волжская Набережная.
Корректно: двигатель большей мощности или двигатель с большей мощностью.
Разница в написании связана с тем, что барокко — название художественного стиля, а Возрождение — название целой исторической эпохи (периода в культурном и идейном развитии ряда стран Европы XIV—XVI веков, для которого было характерно обращение к гуманистическому мировоззрению, идеалам красоты и гармонии античной культуры).
Коммуникативно выделенное слово Арктика действительно выполняет роль приложения к существительному название, находящемуся внутри причастного оборота, и закрывать оборот перед этим приложением было бы странно. Ситуация, когда внутри причастного оборота необходимо поставить тире перед каким-либо коммуникативно выделенным словом, в справочниках не кодифицирована. Но, если перестроить предложение невозможно, тире (без запятой) представляется единственно приемлемым вариантом.
В анкетах и опросниках следует оформлять ответ как самостоятельное предложение, то есть начинать его с прописной буквы и заканчивать точкой.
В Ваших примерах слова восток и запад нужно писать со строчной буквы. Заглавная буква в этих словах возможна при употреблении их в других значениях, см. Восток и Запад.
