Второй вариант предпочтителен.
Нормативно: родом с Кубани. Это исторически сложившийся вариант предложного управления.
Возможен первый или второй вариант.
Женская фамилия Чубара склоняется (и мужская тоже).
Форма слова тумана не является прямым дополнением. О прямом дополнении можно прочитать здесь.
Слово Кубань (и как название реки, и как название региона) во всех случаях пишется с прописной буквы.
Мягкий знак писать не нужно.