Правильно: в школе-интернате.
Написание проверяется по орфографическому словарю.
Да, эти названия уместно заключить в кавычки.
Такие названия нужно заключать в кавычки. Исключением может быть слово Ленинка как название широко известное, часто используемое вместо официального названия библиотеки.
Слово родинка - литературное, стилистически нейтральное.