См. в «Письмовнике».
В разговорной речи "ю" в этом слове обычно сокращают, произносят бегло.
Корректно: выплата маткапитала по рождении первого ребенка.
Фамилия Цюра склоняется (и мужская, и женская). О том, как правильно произносить эту фамилию и куда ставить ударение, следует спросить у ее носителя.
См. в «Письмовнике».
Да, верно.
Точка перед запятой в сокращении нужна.