Литературная норма: молодой хирург Иванова. См. в «Письмовнике»: Автор Петрова, или Названия «неженских» профессий.
Предпочтительно (особенно в официальной речи): хирург сделал операцию.
Вы написали это сочетание верно.
Корректно: Ликуй, Москва, твой день рождения!
Возможно. Но вопрос касался только написания, а не целесообразности использования таких сочетаний.
Корректно: врач – детский хирург, врач – мануальный терапевт.