Правильно без запятой.
Если в этом предложении не используется повторяющийся союз либо... либо, для постановки указанной запятой нет оснований.
Кавычки не нужны.
Здесь требуется тире (соответственно, с пробелами до и после знака).
См. в «Справочнике по фразеологии»
Оба варианта возможны.
В обычных текстах правильно: Священный синод и Синод (если это слово выступает вместо сочетания Священный синод). В церковных текстах принято написание Священный Синод (на что и указывает словарь православной лексики).
Кавычки не ставятся.