Правильно: возможности фигуры "ферзь", возможности фигуры "конь".
Верно - с предлогом ДЛЯ.
Верно: потерял крупные фигуры.
Кавычки нужны. Правда, непонятно, какой треугольник (с точки зрения геометрии) считать перевернутым, а какой нет.
Правильно: ледяные фигуры. В словарях русского языка и прилагательное ледяной, и прилагательное ледовый описаны подробно.
Все варианты возможны. Сочетание спорт или диета можно рассматривать как однородный ряд, а местоимение что — как обобщающее слово при нем; это же сочетание можно оформить и как пояснительную конструкцию, с помощью запятой или тире.
Правильно раздельное написание.