Лига - в спортивных играх: группа команд, приблизительно равных по уровню мастерства, участвующих в единой структуре системы соревнований. Поэтому правильно: играть в лиге, перейти в лигу.

Написание с прописной буквы правильно.

Если речь идет об объединении детей, верно: о лиге детей. Если речь идет о собственном наименовании организации - "Лиге детей". Лучше: по дороге (во время пути).

Если в этом предложении не используется повторяющийся союз либо... либо, для постановки указанной запятой нет оснований.

Извините за задержку с ответом. Ваш вопрос довольно сложный, и вот по каким причинам. Во-первых, название компании LEGO (головной офис которой находится в Дании) представляет собой аббревиатуру, образованную из букв словосочетания на датском языке leg godt, которое означает "играй хорошо" (на латинском языке lego также значит "я собираю", но компания LEGO Group заявляет, что латинская этимология названия – это не более чем совпадение). Таким образом, история названия дает нам основание для написания его прописными буквами. Во-вторых, слово лего употребляется в русском языке уже как нарицательное существительное, обозначающее конструктор такого типа вообще (не обязательно произведенный фирмой LEGO), а также игру с таким конструктором. Это дает нам основания для написания с маленькой буквы без кавычек.
Итак, наши рекомендации таковы. Предпочтительно (особенно при указании торговой марки) написание конструктор LEGO или конструктор «Лего». Но в бытовом употреблении (и тем более при передаче разговорной речи) возможно написание конструктор лего.

Оба варианта верны.

Указанная запятая не нужна.

Предпочтительно: не несет ответствености.

Правильно: лило.

Кавычки не требуются.