Пишется Забава Путятична, произносится [шн]. Ср.: Ильинична, Лукинична, Никитична и т. п.: в женских отчествах на -ична произносится [шн], но пишется чн. Написание Забава Путятишна возможно при намеренной передаче произношения на письме.
Слово листва уже стоит в форме единственного числа. Это собирательное существительное, у него нет формы мн. числа.
Мягкий знак писать не нужно.
Если имеется в виду женская фамилия Забава, то она склоняется: Забавы Полины.
Все поставленные запятые нужны.
Поставленная Вами запятая нужна.
Запятая не нужна, поскольку слово зима является общим второстепенным членом.