Наречие по-честному существует. Словари отмечают, что это разговорный синоним наречия честно.
Этот оборот носит разговорный характер, без контекста трудно говорить о допустимости его употребления.
Смысл предложения неясен. Что значит 'честно относиться к вещам'?
Пунктуация корректна.
Корректно: Орган местного самоуправления обязали компенсировать моральный ущерб, причиненный укусом бездомной собаки.