«Толковый словарь русского языка» С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой фиксирует прилагательное от лайка 'собака' – лаечный. Правильно: лаечный хвост.

Верно: много ларг.

Следует писать раздельно: двух с половиной партий.

Верно: автомобиль "Лада Ларгус".

Да, эта мужская фамилия склоняется. Возможно адъективное склонение (по образцу прилагательных, как, например, слово карий: Парего, Парему и т. д.) и субстантивное склонение (по образцу существительных, как, например, слово кий: Пария, Парию и т. д.). Здесь право выбора типа склонения – за носителем фамилии.

Возможны оба варианта.

Неправильно. См. значение слова жаркий в толково-словообразовательном словаре (окно «Искать на Грамоте»).

Неодносложные существительные мужского рода на -ий в форме предложного падежа ед. числа имеют в безударном положении, в отступление от общего правила, окончание -и: о гении, в санатории, о Сергии, о Василии, о Юрии.

Правильно раздельное написание (как сочетание наречия и прилагательного).