Первично выражение как кур в ощип. От него, в результате народной этимологии, образовался оборот как кур во щи. В современном русском языке существуют оба этих оборота.
Строгая норма: много кур, бегают куры. В разговорной речи допустимо: много куриц, бегают курицы.
Указанная запятая нужна.
См. вопрос 253815.
Это слово пока не получило фиксацию в нормативных словарях русского языка, поэтому «правильного» и «неправильного» варианта не существует. Слово продолжает осваиваться русским языком, встречаются оба варианта произношения и написания.
Разводить курей – так говорить нельзя. Правильно: разводить кур.