Такова особенность склонения фамилий на ударный -ин и притяжательных прилагательных на ударный -ин.

Если речь идет о творческом коллективе художников (Куприянов, Крылов, Соколов), кавычки не нужны. Кукрыниксы – псевдоним. Псевдонимы, так же как и личные имена, отчества, фамилии, прозвища, не заключаются в кавычки.

Если имеется в виду российская рок-группа «Кукрыниксы», кавычки нужны.

Знаки препинания расставлены правильно.

Эта фамилия склоняется (если носитель – мужчина), при этом возможно адъективное склонение (по образцу прилагательных: Купрего, Купрему и т. д.) и субстантивное склонение (по образцу существительных: Куприя, Куприю и т. д.).

Обособление не требуется.

Ничего некорректного в формулировке "Какое имя было у Куприна?" нет. Однако формулировка "Имя писателя Куприна" выглядит более удачной, так как в ней нет никакой двусмысленности.