Да, эта фамилия склоняется (и мужская, и женская).
Ударение падает на приставку: вышитая.
См. ответ № 191371.
Лучше использовать кавычки разного рисунка. Предпочтительно: Некоммерческая организация «ПИК "Строим вместе"». Допустимо: Некоммерческая организация "ПИК "Строим вместе".