Ничего некорректного в формулировке "Какое имя было у Куприна?" нет. Однако формулировка "Имя писателя Куприна" выглядит более удачной, так как в ней нет никакой двусмысленности.
Адаптация. Вы решаете кроссворд?
Определение корректно. Может быть, лучше: тряс этим предметом?
Точки в конце нужны.