Да, мужская фамилия Король склоняется. Правильно: Королю Евгению.
Если фамилия сопровождается мужским и женским именами, то она сохраняет форму единственного числа: Татьяна и Олег Король.
Выбор глагола зависит от строя предложения и смысла.
Правильно: если начнет литься кровь.
Можно, в значении "пробуют себя в роли учителя".
Склоняются мужские фамилии Бутон и Король. Фамилия Прокопенко не склоняется.
В словарях в этом значении рекомендуется только "играть роль".