Правильно: в «Кро́ви Эдема». 

Правильно: крови.

Правильно: если начнет литься кровь.

Корректно: общий и биохимический анализ крови. Прилагательные сами по себе указывают, что речь идет о разных видах анализа.

«Русская фразеология. Историко-этимологический словарь» А. К. Бириха, В. М. Мокиенко, Л. И. Степанова (3-е изд., испр. и доп. М., 2005) выделяет три значения фразеологизма проливать / пролить свою кровь: «1. За кого, что. Погибать, умирать, защищая кого-либо, что-либо. 2. Сражаться, воевать. 3. Только в форме: ПРОЛИВАТЬ КРОВЬ чью, кого. Убивать, умерщвлять». Здесь же отмечается, что это выражение древнерусское, встречается в «Повести временных лет» в 1 и 3-м значениях, и приводится гипотеза его происхождения со ссылкой на статью Н. Т. Ходиной «Отражение поверий, предрассудков, обычаев во фразеологии» (Вопросы структуры и семантики германских и романских языков. Воронеж, 1975. С. 106.): «Смысл его, возможно, восходит к обычаю жертвоприношений: в глубокой древности часто приносили в жертву детей, главным образом первенцев. Позднее приношение в жертву первенца заменилось пролитием нескольких капель его крови или же закланием молодого животного».

В МАСе зафиксированы оба сочетания (свертываемость крови – способность крови при истечении ее на поверхность превращаться в эластические сгустки; свертывание – действие по глаголу свернуться: превратиться в сгустки), однако среди медиков наиболее популярен первый вариант.