Правильное написание в современном русском языке: исподтишка. Это слово происходит от сочетания из-под тишка, где тишка – форма родительного падежа существительного тишок ''тишина, спокойствие'. Первоначальное значение исподтишка – 'тихонько', затем – 'скрытно.'

Правильно: бояться кого-чего. Кошка боится мышки.

Правильно: Что подгорело?

В этимологическом словаре М. Фасмера высказано предположение, что кошка могло быть образовано от слова коша  — уменьшительно-ласкательного к кот (подобно тому как образуются Маша от Марья, Паша от Павел и т. д.).

Да, мужская фамилия Котик склоняется.

Если определение относится к обоим существительным, то сочетание будет восприниматься однозначно с  определением в форме множественного числа. 

Правильно: мурлычет, мурлыкает.

Пожалуйста, сформулируйте вопрос.