Да оба слова пишутся с большой буквы: Лосиный Остров.
Географические названия: остров Путятина, остров Аскольд.
Правильно: национальный парк «Лосиный Остров». Слово остров пишется с большой буквы, поскольку употребляется не в своем основном значении (это не остров, а лесной массив).
Правильно: остров Татышев.
Правильно: Остров свободы.
Правильно: остров Татышев (от имени Татыш).
Правильно: остров Татышев.
Нейтрально (не в энциклопедии): Крысий остров.
Если речь идет о географическом названии (пусть и вымышленном), верно: остров Невезения (по общему правилу). Как название песни – «Остров Невезения».
А вот если какая-нибудь территория будет образно названа Островом невезения, верным будет именно такое написание (в образных названиях с прописной буквы пишется первое слово), ср.: Остров свободы (о Кубе).